欧亚体系的数学背景----好东西大家分享

八百度

从数学角度，概率与模型是不能分割的。在欧洲和美洲各有一两家专门制定体育赔率的公司（注意，他们不是博彩公司），而众多博彩公司其实是从这两家公司购买原始赔率，再微调成自己发布的赔率。从这个意义上讲，我们见到的如此多家博彩公司的赔率很大可能是同源的，没有外界揣测的那么多个性和根本差异。

众多的博彩公司，不管是哪个国家的，也不管是欧盘还是亚洲盘，他们在赛前的走势变化往往非常的一致，要升都一起升，要降都一起降，有时候差异是很小的。这是受到投注资金的影响？还是受某种信息的影响？或者是象前面说的是专门定制陪率的公司统一批发的？应该怎样理解这种变化的一致性？又这种变化的方向对赛果的判断有没有实际的指导意义呢？我们先从数学理论看看标准盘和亚洲盘。

1.    1. 赔率的数学生成的理论及欧亚转换的实质
赔率最早出现据说是在赛马运动中，几个世纪前，欧洲庄园主以自己豢养的马匹为了娱乐而进行比赛，并以赛马的输赢打赌来增加刺激性和娱乐性，这种娱乐活动逐渐吸引了越来越多的旁观者，并导致越来越多的赌金投入，发展到一定阶段为不同马匹设置不同的赔率就成为必要，因为不然就无法避免投注过于集中在少数好马。赛马运动在这样的雏形阶段，其赔率主要是根据受注的情况而调节，赔率的约定各方（往往是马主们）主观上并没有严格评估马匹的实力和取胜概率，这个时期的赔率是没有数学依据的。
正如自然科学和社会科学领域的许许多多事物和规律一样，一些原本无意识的、自发的、靠内在需求推动的变异或行为规则，到后来都不可避免地演变和发展出与之相关的形而上的哲学和数学规律，并最终在这些哲学规律的影响和作用下转化为有意识、有组织、附加了内在规律约束的形式或行为——赔率也正是如此。
在多次的比赛中，参赛马的往绩积累越来越多，投注者（包括马主）对马匹的实力评估越来越准确：一匹曾经被过分高估的马，在输掉几场比赛后，针对这匹马的投注比例自然会减少，从而导致马主或赔率制定者在今后的比赛中会提高该马的赔率，反之亦然。长此以往，在马匹实力决定的取胜概率、投注比例、赔率三者之间就形成了越来越精确稳定的动态平衡，发展到最后，三者在理想情况下（马匹实力稳定、没有做马和其他人为的不公正因素）达到一致，这时意味着，赔率制定者完全可以不经过接受投注，在没有投注比例数据的情况下率先开出赔率，因为他们可以依据三要素的最后一个要素取胜概率来制定赔率，而这一完全不必依赖真实投注情况得出的赔率，在很大程度上可以很好地吻合后来实际投注的真实情况，甚至不必加以微调也能完全实现分散投注和平衡风险的作用。
从根据投注情况随时变动赔率，到预先根据结果概率设置相对固定的赔率，看似简单的变化，其实是现代博彩业得以存在的一个核心基础。赔率的概率化（相对于完全依照临场投注而定的赔率而言）让博彩规则开始有序和严密，利于产业化的形成，同时也为各种玩法间的赔率演变提供了依据和数学基础，比如可以由标准盘赔率推演出波胆赔率、大小球赔率等等。
赔率的本质进化为概率，这个前提使我们得以推演各种假定实力条件下的赛果概率及与之对应的标准赔率表。对足球而言，在交战双方平均入球数已知的情况下，各种波胆的概率可以经由POSSION函数求得，而波胆概率稍加推演又可以得出标准盘和大小球赔率，那么在设定的入球数范围内，我们就可以计算出一张标准盘配置的全表，及其它玩法的对应理论赔率。这些赔率虽然都是不含投注比例这因素影响、纯统计数学计算的赔率，却发现会很大程度吻合了体育博彩市场的真实投注倾向。



注：对于POSSION函数想作较深认识的朋友可参考http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

让球制（又称“亚洲盘”）据闻源于美国的橄榄球，这个形式到规则都迥异于标准盘赔率，容易让人产生两者无甚关联的错觉，有人甚至说亚洲盘和标准盘的开盘原理完全不同，两者没有必然的关联，而研究它们的关联也毫无意义。
但如果回过头来看看生成标准盘的数学算法，便不难发现，作为POSSION函数的已知变量，两队入球数（准确地说是攻守综合后的等效入球能力）是计算理论标盘赔率的先决条件，标盘赔率的决定因素是两队的入球能力，例如我们只要知道主客平均入球数分别是1.51和0.85，就能轻松计算出两队交锋的标准盘赔率1.69 3.42 4.21 。标盘数学算法的初始变量就是两队的入球数，而两队入球数相减就是让球，1.51-0.85=0.66，所以标盘1.69 3.42 4.21的另一种表述形式可以是让球0.66，或者说两者等效。
让球制，或者说亚洲盘，与标准盘实质相通，两者通过建立一个等效让球的变量可以实现互相转换。标准盘和亚洲盘的本质都是入球差异决定的概率，欧亚换算实际上就是同一事物的两种表现形式的变换，和标盘转换成大小球盘没有本质的区别。

2. 欧亚转换的原理及实现
认识到标准盘和亚洲盘的本质都是让球，利用POSSION函数不难生成类似下面的“让球-标盘”对照表——
让球
胜赔
平赔
负赔
0.102         2.31       3.19        2.65
0.125         2.28       3.19        2.70
0.148         2.24       3.20        2.74
0.170         2.21       3.20        2.79
0.193         2.18       3.20        2.83
0.216         2.15       3.21        2.88
0.238         2.12       3.21        2.93
0.261         2.09       3.22        2.98
0.283         2.07       3.23        3.04
0.306         2.04       3.23        3.09
0.328         2.01       3.24        3.15
表中第一列的让球不同于我们常见的亚洲盘形式，这其实是真正精确的让球，可以做到无级变化，通常的亚洲盘已经演变为让球级别1/4球间隔的形式，靠让球级别和水位来实现近似无级的变化。欧亚换算的难点在于如何“化无级为有间”。
求解的方法之一是从标准盘和亚洲盘的共同点“概率”入手，既然两者是相同概率的不同表现形式，那么两者各自反映的概率结果应该一致。举例，对于标盘1.83
3.32
3.63，如果想转换为亚洲盘形式如“主队让半球Ｓ”（Ｓ为上盘赔率），我们可以通过标准盘和亚洲盘的主胜概率相等这个前提，求解出Ｓ。
在一个简单例子中，亚洲盘和标准盘可以实现比较直观的等效，亚洲盘让半球，主胜的情况下，恰好等于上盘赢，那么
标盘主胜概率 = 1/1.83 * 标盘返还率          ---（1）
上述标盘的返还率是0.89，带入（1），得
标盘主胜概率 =  48.65%
根据标盘主胜概率=亚盘上盘赢概率（在让半球的特定情况下相等），可以求出亚盘公平赔率
亚盘上盘公平赔率 = 1/亚盘上盘赢概率 = 1/48.65% = 2.055     --- （2）
亚盘下盘公平赔率 = 1/(1-48.65%) = 1.948                                ---（3）
所谓公平赔率是指上下盘赔率返还率100%，庄家为零抽水。此时上下盘赔率和为2.055+1.948=4.003。而我们通常所见的亚盘赔率都是经过抽水的，以上下盘水位和3.85（易胜博、伟德及澳门早期采用）为例，上述亚盘公平赔率在3.85体系里的赔率应该是

亚盘上盘赔率 = 2.055 * 3.85 / 4.003 = 1.977    ---（4）
亚盘下盘赔率 = 1.948 * 3.85 / 4.003 = 1.873    ---（5）
上下盘水位和 = 1.977+1.873 = 3.85。这样的转换基于上下盘利润相等的前提，因为这是庄家平衡利润和风险的最常见模式。
（4）、（5）的结果意味着标盘1.83
3.32
3.63被转换成半球盘后等效于 1.977 让半球 1.873。
一个普遍的质疑往往出现在这里：转换后的亚洲盘上盘赔率为什么不等于标盘的主胜的1.83呢？庄家对同一结果的不同赔率形式的赔付怎么会有标盘赔1.83和亚盘赔1.977两者如此大的差距？！按照网上另一种较为流行的观点，1.83的主胜标盘似乎显而易见理所当然地对应于亚盘 1.83 让半球 2.02。
可以从几个方面来解释上述的质疑及其换算存在的错误——
第一，“博彩公司应该让同一赛果的各种赔率体系的赔付率保持一致性，例如标盘1.83应该对应亚盘 1.83 半球 2.02（赔率和3.85）”，这个貌似合理的观点从两个角度简单举例可以推翻。
例1是假设另一家亚盘公司要开3.90赔率和的亚洲盘，那么根据这种观点，应该开1.83 半球 2.07，那么试问在3.85和3.90两家亚盘公司之间该如何协调下盘赔率？可见不考虑利润率和返还率的机械对比赔率是站不住脚的。
例2是，对于1.83 3.32 3.63这个标盘，假定让半球的亚盘上盘赔率是1.83无疑，我们来求解一下标准盘和亚洲盘的上下盘概率：
对于标盘1.83 3.32 3.63，前面已经计算过标盘主胜概率 = 48.65%，那么可以推算
平加客胜的概率 = 1 - 48.65% = 51.35%。
对于亚盘 1.83 半球 2.02，未考虑返还率因素时，上盘胜概率 = 1/1.83 = 54.6%，下盘胜概率 = 1/2.02 = 49.5%,两者之和=1.041；考虑返还率时，上盘胜概率 = 54.6%/1.041 = 52.5%，下盘胜概率 = 49.5%/1.041 = 47.5%，两者之和=1，这时的上下盘概率是亚盘反映的真实概率。
至此不难发现，在主胜的情况下，标盘显示的主胜概率是48.65%，而等效的结果是亚盘上盘胜，其概率却是52.5%；而在下盘胜的情况下，亚盘下盘概率47.5%，对应标盘的等效结果是平局+客胜，概率和是51.35%。标盘和亚盘，在对应结果上不仅概率表现相差甚远，甚至到了调转的程度（标盘体现上盘胜率低于下盘胜率，而亚盘赔率持相反结论）。从而证明这一欧亚换算不正确。
第二，标准盘和亚洲盘在利润和返还率上的差距直接对各自的赔率施加了影响，主流公司标盘的返还率通常是89%左右，而亚盘远远高于这个数值，并且对于同一赔率和的亚盘体系（例如3.85），在其各个水位上的利润都不同（例如2.05-1.80组合
与 2.00-1.85组合），在不同的利润率下刻意追求价格的等同是不切实际的，因为你照顾到了上盘就必然丢掉下盘，应该看到问题的本质——概率——才是统一现象的核心。
第三，从前述的计算过程可知，标准盘和亚洲盘的对应转换绝不仅仅是标盘第一赔率（标盘三赔率中最小的赔率）的问题，和平赔及第三赔率都有直接关联（这一点在除半球以外的亚盘转换上显得尤为关键），所以有人引述的其他网上流传的赔率换算表，殊不知一看前者只列首赔的形式就已经暴露出错误。
第四，目前网上流传的很多版本的欧亚对照表，是根据大量实际开盘汇总平均归纳而成，在“是否更吻合博彩公司的开盘原理”这点上，包含了一个研究方法上的错误。在这从大量实际开盘汇总平均归纳而成的方法中隐含了一个假设，就是博彩公司在实际开盘中，标准盘和亚洲盘是严格对应或力求等同的。在这个假设下收集的资料，反过来证明这个假设，就是这种观点的本质和逻辑的荒谬之处。欧亚换算完全是建基于纯数学推导而不是数据采集归纳，它首先不轻易承认博彩公司的欧亚盘口开盘对等的假设，刚刚相反，它用自己的结论推翻了上述假设，即针对同一比赛的标准盘和亚洲盘存着大量不对等情况，在赢利策略和风险防御上的分别，造成两者的差异。

第五，正确的欧亚换算表，应该可以对亚洲盘做任意变换，例如将一个半球盘换算成半一、一球、一球球半、平半、平手、受让平半等等，实现在不同盘口下的精确水位转换，这也是博彩公司的一个较新产品，多盘口目的是细分盘口，用更高的回报或更便宜的风险承担来吸引投注者。

纯数学角度上的转换，是指不考虑庄家优势情形下（既理论上的公平条件下）的转换，可以随便找一组数字，从公平的角度出发，那么从数学上是可以很简单的进行欧亚之间的转换。
如果有人能知晓庄家的真正利润倾向，那所有讨论便变得没有意义。
讨论的目的只是为了从理论的、公平的数据出发，是否可以去尝试了解或部分了解庄家的利润倾向。

3. 欧亚转换的理论和实战意义


欧亚换算的一个理论意义较强的体现，是越来越多的庄家开出多级亚盘，比如BET365和金宝博，能把一个市场上普遍开让半球的盘口，多开出让平半、让半一的盘，甚至开到让平手、受让平半、让一球等等。这种亚盘的多级等效转换，其依据的数学模型和欧亚转换相同，核心都是所谓“概率等同”，即各级盘口下对应的上下盘概率应该等同。

探讨欧亚对比的实战分析意义，离不开欧亚盘的策略以及操盘手法存在的差异、而这种差异往往能够反映出庄家对于比赛的倾向。
说到庄家透过赔率盈利，很多人直观或简单地以为，庄家面对每场比赛都要根据投注比例、借助调整赔率和抽水来实现获利，然而一批冷静的研究者发现，至少欧赔或标准盘的获利原则并不取决于单场或短线，其赔率的稳定性和大量样本统计后的结果都在说明一个结论——庄家在欧赔上的获利更主要依据某种长线策略在总体或者说大范围比赛内实现。认识到这点的人，可能各有各的途径或方法，殊途同归，这里我还是想用数学模型来证明。
设博彩公司有一组标准盘赔率:主胜La 平Lb 客胜 Lc，在某场比赛中使用，当时在三个赛果上的受注比例为A、B、C(A、B、C为百分比，满足A+B+C=1)，那么盈利公式为
主胜时利润率 Pa = 1 - LaA                           —— (1)
平局时利润率 Pb = 1 - LbB                           —— (2)
客胜时利润率 Pc = 1 - LcC                           —— (3)
如果要确保这场赛事中任何赛果都有利润，那么上述三公式中任何一个P（利润率）都要大于0，引伸为：
La < 1/A                          —— (4)
Lb < 1/B                          —— (5)
Lc < 1/C                          —— (6)
说明如果博彩公司采取每场必争的短线策略，他必须根据每个赛果上受注比例的变化来调整赔率，才能达到确保盈利的目的。
进一步设想长线的情况，如果在 i = 1 到 N 场比赛中使用这一赔率组合，博彩公司在N场的总体利润。设这N场中三个赛果的平均受注比例为Ai、Bi、Ci (Ai+Bi+Ci=1) ，而N场比赛中主胜、平、客胜三种赛果的实际赛出比例分别是Wa、Wb、Wc (Wa+Wb+Wc=1)，那么这N场赛事的盈利公式为
N场赛事总利润率
∑P = 1 - LaAiWa - LbBiWb- LcCiWc               —— (7)
仔细研究公式7，在等式右边的影响因素中，受注比例ABC和赛果实际赛出比例Wabc对博彩公司而言都是外界条件，只有赔率才是可以掌控的内部因素，而且在长在线博彩公司有两种基本策略可以选择：
策略一，根据受注情况不断调节赔率，在N场赛事中最大限度地做到注码平衡，对于标盘，这个平衡表现在让赔率完全体现注码的分布，最理想情况下做到 LaAi = LbBi = LcCi = R，R就是标准盘返还率，则公式7演变为
∑P = 1 - R(Wa+Wb+Wc)
由于Wa+Wb+Wc=1，则
∑P = 1 - R               —— (8)
返还率R是博彩公司可以控制的因素，只要R<1，运用策略一就可以保证
∑P > 0，令博彩公司长线稳获利，并且与赛果赛出比例无关。

这种只与受注比例挂钩
但与赛果打出比例毫无关连的赢利方法就是大众所说的抽水策略。
策略二，根据对赛果概率W的准确预计，制定出与之适应的赔率，最理想情况下令 LaWa = LbWb = LcWc = R（注意：这里的Wa/Wb/Wc就是从N场赛事积聚下来的胜平负概率推算出来的赛果概率），则公式7演变为
∑P = 1 - R(Ai+Bi+Ci) = 1- R  —— (9)
公式9说明运用策略二同样保证∑P > 0，令博彩公司长线获利，并且与受注比例无关。

这种从对赛果概率W的准确预计制定出来的相应赔率，与受注比例无关，就是做盘策略。
尽管公式8 和 9 都是最理想情况下的假设，实际情况中博彩公司只要做到近似实现这个假设，两个策略下的结论仍然不会发生质变，而最多只是利润率大小的问题。公式8和9表明，博彩公司或者说开盘者运用他们手中的工具——赔率，只要对受注比例（策略一）或者赛果概率（策略二）做出越精确地响应，他们就越能在长线保持稳定的盈利，而且两个策略完全可以相互独立，互不干扰。
这个结论的颠覆常识的意义在于两个策略的独立性，即博彩公司不必综合采用两个策略而只要选其一就能实现获利。
那么，博彩公司在两个策略中会倾向采取哪一个？

策略一实现的基础是预先精确估算投注比例，并且在受注过程中随时变化赔率以回应投注比例的变化。然而现实的投注行为中不可估算的因素太多，且一些以标准盘为代表的多个固定赔率(fixed odds)开盘后一般很少变化，都显示以投注比例为关注焦点的策略对博彩公司的操作性存在较大困难。
相比之下，以赛果概率为核心的策略更具可行性——比赛事件的结果概率可以从大量历史数据，网络信息的优势等等下建立预测模型，并且预测的概率通常不会在赛前发生变动，这意味着根据结果概率开出的赔率具备高度稳定性，有利于吸引投注和降低运营成本。
实际上，任意提取一组博彩公司开出的标盘赔率，其转换出的各结果概率与采用该赔率的大量比赛的实际赛果概率高度吻合，从而成为策略二被采用的一个左证。
至此可以对博彩公司的赔率盈利模式做出结论：只要制定出符合赛果概率的赔率，而没必要受制于投注比例的变化和单场比赛的得失，就能在理论上确保长线的总体盈利。

这个结论不仅解释了一些如Interwetten等的标盘的固定赔率几乎不受投注比例影响的“稳定性”的原因，也可以打破很多诸如退水应该是受资金带动，或是大热等等的误区，为欧亚转换的实战应用开启了一个突破口。

东华上仙

受教了,不错的一篇文//

飞禽小咬

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